पासा सबसे शुरुआती जुआ उपकरणों में से एक था। इस लेख में मैं केवल मानक आधुनिक पासा पर चर्चा करूंगा। इस प्रकार का पासा स्वाभाविक रूप से एक घन होता है, और प्रत्येक पक्ष में कई अंक होते हैं, जिनकी संख्या 1, 2, 3, 4, 5 और 6 होती है। विपरीत पक्षों के बिंदुओं का योग 7 है, इसलिए पासे की 6 भुजाओं को तीन जोड़ियों में विभाजित किया जा सकता है, अर्थात् 1 और 6, 2 और 5, और 3 और 4। एक पासे के चेहरे के ठीक दो विन्यास हैं जिनमें यह गुण है, और दोनों एक दूसरे के दर्पण चित्र हैं। वर्तमान में, पश्चिम में बने लगभग सभी पासों में 1, 2 और 3 के तीन फलक होते हैं, जो उनके सामान्य शीर्ष के चारों ओर दक्षिणावर्त व्यवस्थित होते हैं। मुझे बताया गया है कि जापान में माहजोंग को छोड़कर सभी खेलों में इस हाथ रोल के साथ पासा का उपयोग किया जाता है। महजोंग एक ऐसा खेल है जो प्रतिबिंबित पासा का उपयोग करता है, और अब से, जब तक अन्यथा न कहा जाए, मैं पश्चिमी शैली के पासा का उपयोग करूंगा।
वांछित कुल प्राप्त करने के लिए पासा को अक्सर जोड़े में घुमाया जाता है। पहले मान लें कि पासा "निष्पक्ष" है ताकि प्रत्येक पक्ष के पास लुढ़कने का 1/6 मौका हो। कुल अंकों की एक निश्चित संख्या की संभावना की गणना करने के लिए, हमें यह पता लगाना होगा कि कितनी स्थितियां इस कुल अंकों की ओर ले जा सकती हैं। फिर हम इस संख्या को 36 से विभाजित करते हैं, पासा जोड़े की कुल संख्या (ध्यान दें कि दो पासों को अलग किया जाना चाहिए)।
यह कल्पना करके समस्या को समझने में मदद करता है कि एक मरा लाल है और दूसरा नीला है। इस तरह, उदाहरण के लिए, 12 की कुल संख्या में केवल एक केस हो सकता है, यानी लाल पासा 6 अंक लुढ़कता है, और नीला पासा भी 6 अंक लुढ़कता है। अतः कुल 12 होने की प्रायिकता 1/36 है। इसके अलावा, दो मामलों में कुल 11 प्राप्त किए जा सकते हैं, अर्थात्, एक लाल पासा 6 रोल करता है, एक नीला पासा 5 रोल करता है, या एक लाल पासा 5 रोल करता है, और नीला पासा 6 रोल करता है। अंकों की कुल संख्या के 11 होने की प्रायिकता 2/36 या 1/18 है।
महान गणितज्ञ और दार्शनिक गॉटफ्राइड लाइबनिज का मानना था कि 11 और 12 के लुढ़कने की संभावना समान होनी चाहिए, क्योंकि उनके विचार में केवल एक ही मामला है जिसमें कुल 11 को लुढ़काया जाता है- वह है, 6 का एक पासा रोल, और अन्य पासा एक 5 रोल करता है। इस सिद्धांत के साथ कई समस्याएं हैं। शायद सबसे प्रमुख समस्या यह है कि यह पूरी तरह से प्रयोगात्मक परिणामों के विपरीत है। प्रायोगिक परिणाम बताते हैं कि 11 को रोल करने की संभावना 12 को रोल करने की संभावना से दोगुनी है। एक और समस्या यह है कि सिद्धांत एक अविश्वसनीय निष्कर्ष की ओर ले जाएगा कि दो पासों की एक निश्चित कुल रोलिंग की संभावना - कोई फर्क नहीं पड़ता - 1 से कम है।
एक खेल में, क्रेप्स, इन संभावनाओं की एक सहज भावना एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। क्रेप्स जुए की शुरुआत 1840 के दशक में हुई थी। इस प्रकार के जुए में, एक खिलाड़ी (जो पार्टी पासा फेंकता है) दांव लगाने के लिए एक राशि लगाता है। अन्य खिलाड़ी "फीके" होते हैं, जो कहने के लिए, अपने स्वयं के चयन की राशि की शर्त लगाते हैं। यदि अनुसरण करने के लिए कुल धनराशि शूटर के शुरुआती दांव से कम है, तो वह इस कुल के बराबर होने के लिए दांव को कम कर देता है। फेंकने वाला फिर पासा की एक जोड़ी को रोल करना शुरू कर देता है। यदि पासे का पहला रोल 7 या 11 का योग करता है (जिसे "प्राकृतिक" कहा जाता है), तो वह तुरंत जुआ जीत जाता है। यदि पासे का पहला रोल 2, 3 या 12 ("क्रेप्स") का योग करता है, तो वह जुआ हार जाता है। अन्य मामलों में, शूटर द्वारा पहले रोल पर कुल अंकों की संख्या - यानी 4, 5, 6, 8, 9, या 10 - उनका "स्कोर" है। इस बिंदु पर उसे एक स्कोर और फिर एक 7 ("क्रेप्स आउट") के लिए फिर से रोल करने की कोशिश करते हुए, लुढ़कते रहना चाहिए। यदि वह उस परिणाम को रोल कर सकता है, तो वह सभी दांव जीत जाता है, अन्यथा वह सब कुछ खो देता है।
ऊपर वर्णित संभावनाओं और इस जुआ के नियमों के अनुसार, यह गणना की जा सकती है कि फेंकने वाले के जीतने की संभावना 244/495 या लगभग 49.3% है। यह जीतने या हारने की समान संभावना (50%) से थोड़ा ही कम है। पेशेवर जुआरी इस छोटे से नुकसान को दो तरह से लाभ में बदल सकते हैं। एक तरीका यह है कि अन्य खिलाड़ियों के साथ विभिन्न "साइड बेट्स" (यानी सामान्य दांव के ऊपर और ऊपर दांव) को स्वीकार या अस्वीकार किया जाए। दूसरा तरीका है धोखा देना और जुए में चालाकी से पासे का इस्तेमाल करना।
पासे से खेलने के कई तरीके हैं। पासे के किनारों को सूक्ष्मता से काटा जा सकता है ताकि उनके कोने समकोण पर न हों, और भारी वस्तुओं का उपयोग पासे को "सीसा" करने के लिए किया जा सकता है। ये दोनों विधियाँ पासा के लुढ़कने की कुछ संख्याओं को दूसरों की तुलना में अधिक संभावित बना सकती हैं। मानक पासा के बजाय "शीर्ष" और "नीचे" का उपयोग करना एक और नाटकीय चाल है। दो पासों में प्रत्येक तरफ केवल 3 अलग-अलग अंक होते हैं (प्रत्येक तरफ समान अंक)। चूंकि कोई भी खिलाड़ी किसी भी समय एक पासे की अधिकतम 3 भुजाओं को ही देख सकता है, और सभी आसन्न भुजाओं का मान समान नहीं है, इसलिए पहली नज़र में कुछ भी असाधारण नहीं लगता है। हालांकि, यह गारंटी देना संभव नहीं है कि सभी शीर्षों पर चेहरे एक मानक क्रम में हैं। वास्तव में, यदि बिंदु 1, 3, और 5 वाले तीन फलकों को एक शीर्ष पर वामावर्त दिशा में व्यवस्थित किया जाता है, तो इन तीन चेहरों को आसन्न शीर्ष पर दक्षिणावर्त दिशा में व्यवस्थित किया जाना चाहिए।
क्रेप्स में, ऊपर और नीचे के पासे विभिन्न उद्देश्यों के लिए उपयोग किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, 1-3-5 पासे की एक जोड़ी के साथ, कुल 7 को रोल करना कभी भी संभव नहीं है, इसलिए कोई खिलाड़ी कभी भी ऐसे पासे के साथ बकवास नहीं कर सकता है। यदि आप 1-3-5 पासों को 2-4-6 पासों के साथ जोड़ते हैं, तो आपको एक भी कुल संख्या नहीं मिल सकती है, इसलिए एक खिलाड़ी के लिए इन कुल अंकों में से 4, 6, 8 या 10 को रोल करना असंभव है। यदि इन धोखेबाजों पर किसी का ध्यान नहीं जाना है, तो शीर्ष पासे का बहुत अधिक उपयोग नहीं किया जाना चाहिए - जैसा कि लगातार एक समान कुल रोलिंग के साथ, यहां तक कि सबसे अनुभवहीन जुआरी भी संदिग्ध होगा।
पार्टियों में खेले जाने वाले कई टोटके या टोटके पासे का इस्तेमाल करते हैं। इनमें से कुछ तरकीबें इस नियम का उपयोग करती हैं कि पासे के विपरीत पक्षों पर बिंदुओं का योग 7 है। मार्टिन गार्नर ने अपनी पुस्तक मैथमैटिकल मैजिक में एक ट्रिक पेश की। जादूगर ने मुड़कर एक दर्शक को तीन मानक पासा रोल करने के लिए कहा, फिर उन चेहरों पर अंक जोड़ें जो ऊपर की ओर थे। जादूगर फिर धोखेबाज व्यक्ति से किसी भी पासे को लेने और नीचे की ओर की संख्या को पिछले कुल में जोड़ने के लिए कहता है। अंत में, दर्शक पासे को फिर से घुमाता है, ऊपर की ओर से अंकों को दूसरे कुल में जोड़ता है (उसे इन सभी योगों को अपने लिए याद रखना चाहिए)। अब जादूगर पलटा और लापरवाही से बताया कि परिणाम क्या था, हालांकि उसे नहीं पता था कि दर्शकों के सदस्य ने कौन सा पासा चुना था।
रहस्य क्या है? मान लीजिए कि इन पासों के ऊपर की संख्याएँ a, b और c हैं, और विचार एक पासे को चुनता है। मूल योग a+b+c है, और इस योग में 7-a जोड़ने पर b+c+7 प्राप्त होता है। फिर एक पासे को फिर से रोल करें, और d प्राप्त करें, इसलिए अंतिम परिणाम d+b+c+7 है। फिर जादूगर तीन पासों को देखता है। सामने की ओर के बिंदुओं का योग d+b+c है, इसलिए जादूगर को केवल तीन संख्याओं को जल्दी से जोड़ने और 7 जोड़ने की आवश्यकता है और आपका काम हो गया।
एक ब्रिटिश पहेली विशेषज्ञ हेनरी अर्नेस्ट ड्यूडेन ने अपनी पुस्तक (फन मैथ) में एक अलग तरकीब पेश की। जादूगर फिर भी घूमा और एक दर्शक को पासा पलटने के लिए कहा। लेकिन अब वह धोखेबाज से कहती है कि पहले पासे की संख्या को 2 से गुणा करें और 5 जोड़ें, परिणाम को 5 से गुणा करें, दूसरे पासे की संख्या जोड़ें, और फिर परिणाम को 10 से गुणा करें, और अंत में तीसरे से संख्या जोड़ें। मरना। परिणाम जानने के बाद, जादूगर ने तुरंत तीन पासे लुढ़कने वाले अंकों की संख्या की सूचना दी। स्वाभाविक रूप से, दर्शकों द्वारा प्राप्त अंतिम परिणाम 10(5(2a+5)+b)+c है, जो कि 100a+10b+c+250 है। तो जादूगर को इस परिणाम से केवल 250 घटाना है, और तीन शेष तीन अंकों की संख्या तीन पासों द्वारा लुढ़के अंक हैं। अन्य पासा समस्याओं में गैर-मानक रैंक के साथ संशोधित पासा शामिल था। उदाहरण के लिए, क्या पाठक केवल 0, 1, 2, 3, 4, 5, या 6 संख्याओं का उपयोग करके पासा के एक जोड़े को अंक निर्दिष्ट करने के तरीके के बारे में सोच सकता है ताकि जोड़ी के लुढ़कने के बाद कुल अंकों का योग हो। संभावित परिदृश्य (1 से 12 तक) समान रूप से होने की संभावना है (इस लेख के अंत में उत्तर दें)? शायद सबसे अनपेक्षित पासा घटना तथाकथित "गैर-सुपुर्दगी योग्य पासा" है। 3 पासे A, B, C बनाएं और प्रत्येक तरफ के बिंदु इस प्रकार हैं:
ए: 334488 बी: 115599 सी: 226677
कई रोल के बाद, डाई बी, औसतन, डाई ए से बेहतर प्रदर्शन करेगा। वास्तव में, इस बात की 5/9 संभावना है कि पासा B, पासा A से अधिक अंक लुढ़केगा। इसी तरह, 5/9 संभावना है कि पासा C, पासा B से अधिक अंक लुढ़केगा। तो औसतन सी रोल स्पष्ट रूप से ए रोल से बड़ा होना चाहिए, है ना? नहीं, इसके बिल्कुल विपरीत, इस बात की 5/9 संभावना है कि पासा A, पासा C से अधिक अंक लुढ़केगा। संलग्न चित्र उपरोक्त कथन के कारणों को स्पष्ट करते हैं। आप पासा के इस सेट से बहुत सारा पैसा कमा सकते हैं! अपने जुआ प्रतिद्वंद्वी को कोई भी पासा चुनने दें, और फिर आप एक ऐसा पासा चुनें जो उसे अभिभूत कर सके (कई रोल के बाद, आपके पासे के प्रतिद्वंद्वी के पासे से अधिक होने की संभावना 1/2 से अधिक है) और खेल को दोहराएं। आप सभी बेट्स में से 55.55% जीतेंगे। लेकिन आपका प्रतिद्वंद्वी अपने विचार से "सर्वश्रेष्ठ" पासा चुनने के लिए स्वतंत्र है!
